Zinseszinsrechnung:
[Prozentsatz p, Wachstumsfaktor q und Wachstumskonstante ln(q)]

Mit "Prozentfaktor" ist eigentlich der Wachstumsfaktor q gemeint.
Wenn ich anfangs 100% meines Geldes besitze und p%=4% Zinsen jährlich dazu kommen, dann sind es nach einem Jahr 104% = 1,04 mal so viel, wie vorher. q=1,04
Wenn ich anfangs 100% Radioaktivität habe und jedes Jahr wird es p%=20% weniger, dann sind es nach einem Jahr 80% = 0,8 mal so viel, wie vorher. q=0,8
Dieser Wachstumsfaktor ist sehr praktisch, denn ich muss ja nur noch jedes Jahr mal q rechnen. Schon habe ich den Wert für das jeweils nächste Jahr:
f(n)=Anfangswert * q*q*q*q.... = Anfangswert * q^n
mit
n = Anzahl der Perioden (meistens n in Jahren)
q = Wachstumsfaktor = 100% + p%
a = Anfangswert
f(n) = Endwert nach n Perioden

Für Oberstufenschüler: Manchmal dauert eine Periode nicht exakt 1 Jahr. Beispielsweise bei der Altersbestimmung mit der C-14 Methode sind es 5740 Jahre. Also die Menge des radioaktiven Materials in einem Körper halbiert sich alle 5740 Jahre. Dann lautet die Funktion:
f(n) = a * 0,5^(n/5740)
mit
a = Anfangswert
0,5 = q = Wachstumsfaktor (Halbierung)
n = Zeit in Jahren
n/5740 = Anzahl der Perioden, wie oft es sich halbiert

Für Leistungskurs: Diese Funktionsgleichung lässt sich nicht ableiten. Also muss man für Ableitungen das q ersetzen durch ein e^ln(q). Dann lässt sich ganz leicht die Kettenregel anwenden. [Dabei ist noch folgendes Gesetz hilfreich: (e^ln(q))^n = e^(ln(q)*n)] Dieses ln(q) heißt übrigens WACHSTUMSKONSTANTE